平面向量是高中数学重点模块，整套公式包含向量基本概念 线性运算 坐标运算 数量积 平行垂直判定 夹角 模长 投影 定比分点 中点公式这些内容，做题的时候核心就是把几何条件转化成向量坐标或者向量等式，灵活选用对应的公式。平面向量既有大小又有方向，不能直接当成普通数字做加减乘除，数量积结果是实数，不是向量，这个是最容易混淆的地方，很多同学做题出错就是把数量积和向量乘法搞混。所有公式可以分成几何形式和坐标形式两套表达，几何形式适合没有坐标的大题，坐标形式适合建系之后计算，考试选择填空解答题都会用到。
一 基础概念公式
向量 a 向量 b
向量模长 向量 a 的模记作 a 的绝对值，代表向量长度
零向量 模长等于 0，方向任意
单位向量 模长等于 1，和向量 a 同方向单位向量等于向量 a 除以向量 a 的模
相等向量 大小相等方向相同
相反向量 大小相等方向相反，向量 a 的相反向量是负向量 a
二 线性运算公式
向量加法 三角形法则 首尾相接，和向量从起点指向终点
平行四边形法则 同起点，对角线为和向量
向量减法 同起点，差向量指向被减向量
数乘运算 实数 λ 乘以向量 a，结果还是向量，λ 大于 0 方向不变，λ 小于 0 方向反向，模长是 λ 绝对值乘以向量 a 的模
线性运算满足交换律 结合律 分配律
三 坐标运算公式
设向量 a 等于 x1 y1，向量 b 等于 x2 y2
向量加法 a 加 b 等于 x1 加 x2 y1 加 y2
向量减法 a 减 b 等于 x1 减 x2 y1 减 y2
数乘 λa 等于 λx1 λy1
向量模长 a 的模等于根号下 x1 平方加 y1 平方
四 平面向量基本定理
如果 e1 e2 是同一平面内两个不共线向量，那么平面内任意向量 a，都可以唯一写成 a 等于 λ1 倍 e1 加上 λ2 倍 e2，e1 e2 叫做基底，基底必须不共线。
五 数量积 点积公式
几何形式 a 点乘 b 等于 a 的模乘以 b 的模乘以 cosθ，θ 是两个向量夹角，范围 0 到 180 度
坐标形式 a 点乘 b 等于 x1x2 加 y1y2
数量积性质
a 点乘 a 等于 a 模的平方
a 点乘 b 等于 b 点乘 a 满足交换律
λa 点乘 b 等于 λ 倍 a 点乘 b 等于 a 点乘 λb
a 加 b 点乘 c 等于 a 点乘 c 加 b 点乘 c 分配律成立
六 平行 垂直判定公式
平行 a 平行 b 等价于 a 等于 λb 坐标形式 x1y2 减 x2y1 等于 0
垂直 a 垂直 b 等价于 a 点乘 b 等于 0 坐标形式 x1x2 加 y1y2 等于 0
七 夹角 投影公式
夹角余弦 cosθ 等于 a 点乘 b 除以 a 的模乘以 b 的模
向量 a 在向量 b 方向上的投影 等于 a 的模乘以 cosθ，坐标计算等于 a 点乘 b 除以 b 的模，投影结果是实数，可以是负数
八 定比分点 中点公式
点 P 分有向线段 P1P2，P1 坐标 x1 y1，P2 坐标 x2 y2，分比 λ 等于 P1P 比 PP2
P 点坐标 x 等于 x1 加 λx2 除以 1 加 λ，y 等于 y1 加 λy2 除以 1 加 λ
中点公式 λ 等于 1，中点坐标 x 等于 x1 加 x2 除以 2，y 等于 y1 加 y2 除以 2
九 两点距离公式
两点 A x1 y1 B x2 y2，向量 AB 坐标 x2 减 x1 y2 减 y1
AB 距离等于根号下 x2 减 x1 平方加 y2 减 y1 平方
核心公式对照表
| 类别 | 几何形式 | 坐标形式 |
|---|---|---|
| 模长 | a 的模 | 根号 x1 平方加 y1 平方 |
| 数量积 | a 模 b 模 cosθ | x1x2 加 y1y2 |
| 垂直 | a 点乘 b 等于 0 | x1x2 加 y1y2 等于 0 |
| 平行 | a 等于 λb | x1y2 减 x2y1 等于 0 |
| 夹角余弦 | a 点乘 b 除以 a 模 b 模 | x1x2 加 y1y2 除以根号 x1 平方加 y1 平方乘以根号 x2 平方加 y2 平方 |
易错提醒
数量积不满足消去律，也就是 a 点乘 b 等于 a 点乘 c，不能直接推出 b 等于 c
数量积不满足结合律 a 点乘 b 点乘 c 不等于 a 点乘 b 点乘 c
夹角范围是 0 度到 180 度，不能取其他区间，共线同向夹角 0 度，反向夹角 180 度
【常见问题】
问题 1 平面向量的所有公式归纳 数量积结果是向量吗
回答 1 平面向量的所有公式归纳里面，数量积也就是点积，计算结果是实数，不是向量，做题很容易在这里出错。
问题 2 平面向量的所有公式归纳 平行和垂直坐标判定公式是什么
回答 2 平面向量的所有公式归纳里面，平行判定是 x1y2 减 x2y1 等于 0，垂直判定是 x1x2 加 y1y2 等于 0，两个公式不要记混。
问题 3 平面向量的所有公式归纳 基底有什么要求
回答 3 平面向量的所有公式归纳里面，平面向量基本定理的基底要求是同一平面内两个不共线向量，共线向量不能作为基底。
【免责申明】
本内容为高中数学平面向量公式整理，属于学习复习参考，教材版本不同表述会有细微差别，答题请以课本和考试大纲为准。