【三角函数公式总结大全】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能提高对数学规律的理解。以下是对常见三角函数公式的系统性总结，便于查阅与复习。
一、基本概念
| 名称 | 定义 | 公式 |
| 正弦（sin） | 对边与斜边的比值 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ |
| 余弦（cos） | 邻边与斜边的比值 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ |
| 正切（tan） | 对边与邻边的比值 | $ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 余切（cot） | 邻边与对边的比值 | $ \cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割（sec） | 斜边与邻边的比值 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ |
| 余割（csc） | 斜边与对边的比值 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
二、基本关系式
| 类型 | 公式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 $ $ \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 $ $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2A = 2\sin A \cos A $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ |
七、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ -\frac{1}{2} [\cos(A+B) - \cos(A-B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $ |
九、特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 无定义 |
十、常用三角函数图像性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| sinθ | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 |
| cosθ | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 |
| tanθ | R \ {kπ + π/2} | R | π | 奇函数 |
| cotθ | R \ {kπ} | R | π | 奇函数 |
通过以上内容的整理，我们可以更清晰地掌握三角函数的基本知识和应用方法。在实际问题中，灵活运用这些公式可以大大提高解题效率。建议结合练习题进行巩固，以达到熟练应用的目的。