【鸡兔同笼公式推导】“鸡兔同笼”问题是古代数学中一个经典的趣味问题，常用于训练逻辑思维和代数应用能力。其基本形式是：笼子里有若干只鸡和兔子，已知头的总数和脚的总数，要求求出鸡和兔子的数量各是多少。
本文将从实际问题出发，逐步推导出“鸡兔同笼”问题的通用公式，并通过表格形式总结关键步骤与结果，帮助读者更清晰地理解解题过程。
一、问题描述
假设：
- 鸡的数量为 $ x $
- 兔子的数量为 $ y $
已知：
- 头的总数为 $ H $
- 脚的总数为 $ F $
根据常识：
- 每只鸡有1个头，2只脚
- 每只兔子有1个头，4只脚
因此可以列出以下两个方程：
$$
\begin{cases}
x + y = H \\
2x + 4y = F
\end{cases}
$$
二、公式推导过程
步骤1：用第一个方程表示一个变量
从第一式得：
$$
x = H - y
$$
步骤2：代入第二个方程
将 $ x = H - y $ 代入第二式：
$$
2(H - y) + 4y = F
$$
展开并整理：
$$
2H - 2y + 4y = F \Rightarrow 2H + 2y = F
$$
解出 $ y $：
$$
2y = F - 2H \Rightarrow y = \frac{F - 2H}{2}
$$
再代入 $ x = H - y $ 得到：
$$
x = H - \frac{F - 2H}{2} = \frac{2H - (F - 2H)}{2} = \frac{4H - F}{2}
$$
三、最终公式总结
| 变量 | 公式表达 | 含义 |
| 鸡的数量 $ x $ | $ x = \frac{4H - F}{2} $ | 鸡的数量 |
| 兔子的数量 $ y $ | $ y = \frac{F - 2H}{2} $ | 兔子的数量 |
四、实例验证
假设笼中有 35个头，94只脚，求鸡和兔子各多少？
代入公式：
- $ x = \frac{4 \times 35 - 94}{2} = \frac{140 - 94}{2} = \frac{46}{2} = 23 $（鸡）
- $ y = \frac{94 - 2 \times 35}{2} = \frac{94 - 70}{2} = \frac{24}{2} = 12 $（兔子）
验证：
- 头数：23 + 12 = 35 ✔️
- 脚数：23×2 + 12×4 = 46 + 48 = 94 ✔️
五、总结表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定变量 | 设鸡为 $ x $，兔为 $ y $ |
| 2 | 列出方程 | $ x + y = H $，$ 2x + 4y = F $ |
| 3 | 解方程组 | 用代入法消元，得出 $ x $ 和 $ y $ 的表达式 |
| 4 | 推导公式 | 得出通用公式：$ x = \frac{4H - F}{2} $，$ y = \frac{F - 2H}{2} $ |
| 5 | 实例验证 | 代入数值验证公式的正确性 |
通过上述推导和验证，我们可以清楚地看到“鸡兔同笼”问题的解法逻辑和公式来源。掌握这一方法不仅有助于解决类似问题，还能提升对线性方程组的理解与应用能力。