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高中数学已知数列an的前n项和为sn

2025-09-24 16:49:49

问题描述：

高中数学已知数列an的前n项和为sn，急！求解答，求别让我失望！

叶帛鑫

问答领域知识达人

2025-09-24 16:49:49

【高中数学已知数列an的前n项和为sn】在高中数学中，数列是一个重要的知识点，而“已知数列{an}的前n项和为Sn”是常见的题型之一。这类题目通常要求我们根据前n项和Sn来求出通项公式an，或者根据an求出Sn。以下是对这一类问题的总结与分析。

一、基本概念

- 数列{an}：由若干个数按一定顺序排列而成的序列。

- 前n项和Sn：数列{an}中前n项的和，即

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n

二、已知Sn求an的方法

当已知Sn时，可以通过以下公式求出通项an：

a_n =

\begin{cases}

S_1 & (n=1) \\

S_n - S_{n-1} & (n \geq 2)

\end{cases}

三、典型例题解析

题目	已知条件	解法步骤	答案
1	$ S_n = n^2 + 2n $	当n=1时，$ a_1 = S_1 = 1^2 + 2×1 = 3 $ 当n≥2时，$ a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - [(n-1)^2 + 2(n-1)] $	$ a_n = 2n + 1 $

2 $ S_n = 2^n - 1 $ 当n=1时，$ a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 1 $
当n≥2时，$ a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1} $ $ a_n =

\begin{cases}

1 & (n=1) \\

2^{n-1} & (n \geq 2)

\end{cases} $

四、注意事项

1. 注意首项：当n=1时，必须单独计算，因为Sn = a1，不能使用差值公式。

2. 验证通项公式：求出an后，应代入原Sn验证是否一致。

3. 特殊情况处理：若Sn为指数函数或复杂表达式，需仔细化简。

五、总结

$ S_n = 3n^2 - 2n $

当n=1时，$ a_1 = S_1 = 3×1^2 - 2×1 = 1 $
当n≥2时，$ a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 2n) - [3(n-1)^2 - 2(n-1)] $

$ a_n = 6n - 5 $

通过掌握这些方法和技巧，可以更高效地解决“已知Sn求an”的问题，提升数列相关题目的解题能力。

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