等比数列的所有公式

等比数列及其重要公式

在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其特点是每一项与其前一项的比值相等。这种数列广泛应用于金融学、物理学以及计算机科学等领域。本文将详细介绍等比数列的基本概念、相关公式及其应用场景。

等比数列通常用符号$a_n$表示第$n$项，首项为$a_1$，公比为$q$（且$q\neq 0$）。如果一个数列满足条件$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$，则该数列为等比数列。例如，2, 4, 8, 16是一个公比为2的等比数列。

首先，等比数列的通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

此公式用于求解任意项的值。例如，若已知首项$a_1=3$，公比$q=2$，则第5项$a_5=3\times2^{5-1}=48$。

其次，等比数列的前$n$项和公式为：

$$

S_n = \begin{cases}

na_1 & (q=1) \\

\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (q\neq1)

\end{cases}

$$

当公比$q=1$时，数列中的每一项都等于首项，因此总和为$n$倍的首项；而当$q\neq1$时，使用上述分式形式计算。

此外，对于无限项等比数列，如果公比满足$|q|<1$，则其无穷和公式为：

$$

S_\infty = \frac{a_1}{1-q}

$$

这表明当公比绝对值小于1时，数列的无穷和是有限的。

等比数列的应用非常广泛。在银行利息计算中，复利增长便遵循等比数列规律；在物理领域，声波传播或放射性衰变也常表现为等比关系。熟练掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能加深对数学规律的理解。

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