【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是基本且重要的内容之一。复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的函数，其求导需要使用“链式法则”（Chain Rule）。掌握复合函数的求导方法，有助于解决实际问题中的复杂变化率问题。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入所构成的新函数。设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，那么 $ y $ 关于 $ x $ 的复合函数为：
$$
y = f(g(x))
$$
这种形式称为“复合函数”，其中 $ u = g(x) $ 是中间变量。
二、链式法则简介
链式法则是复合函数求导的核心工具。其基本思想是：对复合函数求导时，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
公式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
若存在多层嵌套，如 $ y = f(g(h(x))) $，则链式法则可扩展为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
$$
三、复合函数求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定复合函数的结构，识别外层函数和内层函数 |
| 2 | 对外层函数进行求导，将内层函数视为整体变量 |
| 3 | 对内层函数进行求导 |
| 4 | 将两者的导数相乘，得到最终结果 |
四、常见复合函数求导示例
| 函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ y' = 2\cos(2x) $ | 外层函数为 $ \sin(u) $，内层为 $ u = 2x $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ y' = 2x e^{x^2} $ | 外层为 $ e^u $，内层为 $ u = x^2 $ |
| $ y = \ln(\tan x) $ | $ y' = \frac{\sec^2 x}{\tan x} $ | 外层为 $ \ln(u) $，内层为 $ u = \tan x $ |
| $ y = (3x + 5)^4 $ | $ y' = 4(3x + 5)^3 \cdot 3 = 12(3x + 5)^3 $ | 外层为 $ u^4 $，内层为 $ u = 3x + 5 $ |
五、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数。
- 注意区分外层与内层函数，避免混淆导数顺序。
- 若有多个嵌套层次，应逐步应用链式法则，逐层求导。
通过以上总结与表格展示，可以清晰地理解复合函数的求导方法及其应用场景。熟练掌握这一技巧，将有助于提升在数学、物理、工程等领域的分析能力。