【欧拉方程求解微分方程】在常微分方程中，欧拉方程（Euler equation）是一种特殊类型的二阶线性微分方程，其形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + a y = 0
$$
其中 $ a $ 是常数。这类方程在物理、工程和数学建模中具有广泛的应用，尤其是在处理具有对称性或极坐标问题时。
欧拉方程的求解方法主要依赖于变量替换，将方程转化为常系数线性微分方程。具体步骤如下：
求解步骤总结：
1. 变量替换：令 $ t = \ln x $，从而将原方程转换为关于 $ t $ 的常系数微分方程。
2. 计算导数：利用链式法则，将 $ y' $ 和 $ y'' $ 表示为关于 $ t $ 的导数。
3. 代入方程：将替换后的表达式代入原方程，得到新的微分方程。
4. 求解新方程：使用常系数微分方程的标准方法进行求解。
5. 回代变量：将结果从 $ t $ 转换回 $ x $，得到最终解。
欧拉方程的通解形式（根据特征方程根的情况）
| 特征方程根 | 通解形式 |
| 实数且不相等 | $ y(x) = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2} $ |
| 实数且相等 | $ y(x) = (C_1 + C_2 \ln x) x^{r} $ |
| 共轭复数 | $ y(x) = x^{\alpha} [C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)] $ |
其中，特征方程为：
$$
r(r - 1) + r + a = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 + a = 0
$$
示例分析
考虑方程：
$$
x^2 y'' + x y' + 4y = 0
$$
1. 特征方程为：
$$
r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i
$$
2. 因此，通解为：
$$
y(x) = x^0 [C_1 \cos(2 \ln x) + C_2 \sin(2 \ln x)] = C_1 \cos(2 \ln x) + C_2 \sin(2 \ln x)
$$
小结
欧拉方程是常微分方程中一类特殊的方程，通过适当的变量替换可以将其转化为常系数微分方程，从而简化求解过程。根据特征方程的根的不同情况，通解的形式也有所不同。掌握这一方法有助于解决实际问题中的对称性和奇点附近的行为分析。
| 项目 | 内容 |
| 方程形式 | $ x^2 y'' + x y' + a y = 0 $ |
| 变量替换 | $ t = \ln x $ |
| 特征方程 | $ r^2 + a = 0 $ |
| 根的类型 | 实数、重根、共轭复数 |
| 通解形式 | 见表格说明 |
| 应用场景 | 对称系统、极坐标问题、物理模型 |