【向量公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，它不仅具有大小，还具有方向。向量广泛应用于力学、电磁学、计算机图形学等多个领域。为了更清晰地理解向量的运算规则和相关公式，以下是对常见向量公式的总结与归纳。
一、向量的基本概念
| 概念 | 定义 | ||||||
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用箭头表示，如 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$ | ||||||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ 或 $ | \vec{a} | $ | ||
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hat{a}$，满足 $ | \hat{a} | = 1$ | ||||
| 零向量 | 所有分量都为0的向量，记作 $\vec{0}$ |
二、向量的运算公式
1. 向量加法与减法
设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则：
| 运算 | 公式 |
| 加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ |
| 减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ |
2. 向量的数乘
设 $k$ 为实数，则：
| 运算 | 公式 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ |
3. 点积（内积）
点积用于计算两个向量之间的夹角或投影关系：
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 坐标形式的点积 |
4. 叉积（外积）
叉积用于计算垂直于两向量的第三个向量：
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | $\hat{n}$ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的单位向量 | |
| $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ | 通过行列式计算叉积 |
5. 向量的模长
| 公式 | 说明 | ||
| $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ | 向量的长度公式 |
三、向量的几何应用
| 应用 | 公式 | ||||
| 向量的投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | ||
| 向量的夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | |
| 平行条件 | $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | ||||
| 垂直条件 | $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
四、总结
向量是数学和物理中不可或缺的工具，掌握其基本运算和公式有助于解决实际问题。无论是力学中的力分析，还是计算机图形学中的空间变换，向量都扮演着重要角色。通过上述表格内容，可以快速回顾和应用各种向量公式，提升解题效率和理解深度。