【范德蒙德行列式公式】范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于多项式插值、组合数学和数值分析等领域。它是一个由不同变量组成的特殊行列式，具有简洁而优美的结构。
一、范德蒙德行列式的定义
范德蒙德行列式是由一组变量 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 构成的 $ n \times n $ 行列式，其形式如下：
$$
V =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
这个行列式被称为范德蒙德行列式，记作 $ V(x_1, x_2, \ldots, x_n) $。
二、范德蒙德行列式的公式
范德蒙德行列式的计算结果为：
$$
V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
$$
即，所有不同变量之间的差的乘积。这个公式说明了当任意两个变量相等时，行列式为零，因为此时存在两行相同，行列式为零。
三、范德蒙德行列式的性质总结
| 性质 | 内容 |
| 行列式结构 | 每一行依次为 $ 1, x_i, x_i^2, \ldots, x_i^{n-1} $ |
| 计算公式 | $ V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $ |
| 可逆条件 | 当且仅当所有 $ x_i $ 互不相等时，行列式不为零 |
| 应用领域 | 多项式插值、拉格朗日插值、矩阵理论、组合数学等 |
四、举例说明
例如，当 $ n = 3 $ 时，范德蒙德行列式为：
$$
V =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\
1 & x_2 & x_2^2 \\
1 & x_3 & x_3^2
\end{vmatrix}
= (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)
$$
这说明当三个变量互不相同时，行列式为非零值，表示该行列式可以用于构造唯一解的系统。
五、小结
范德蒙德行列式是一种结构清晰、应用广泛的行列式类型。它的计算公式简单却富有深意，反映了变量之间相互独立的重要性。在实际问题中，范德蒙德行列式常用于判断线性无关性、构造插值多项式以及解决某些类型的方程组问题。
通过理解范德蒙德行列式的结构与性质，有助于更深入地掌握线性代数中的基本工具和思想。