【arctanx的导数】在微积分中，反三角函数的导数是一个重要的知识点。其中，arctanx（即反正切函数） 的导数是基础且常用的内容。了解其导数可以帮助我们更好地处理涉及反三角函数的求导问题。
一、arctanx导数的基本结论
设 $ y = \arctan x $，则其导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这个结果可以通过反函数的导数法则来推导。由于 $ y = \arctan x $ 是 $ x = \tan y $ 的反函数，因此可以利用隐函数求导法进行推导。
二、总结与表格展示
| 函数表达式 | 导数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = \arctan x $ | $ \frac{dy}{dx} $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数的导数公式，适用于所有实数 $ x $ |
三、应用示例
- 若 $ f(x) = \arctan(2x) $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}
$$
- 若 $ g(x) = \arctan(x^2) $，则导数为：
$$
g'(x) = \frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}
$$
四、注意事项
- 定义域：$ \arctan x $ 的定义域为全体实数 $ (-\infty, +\infty) $。
- 值域：其值域为 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $。
- 导数意义：导数 $ \frac{1}{1 + x^2} $ 表示函数在任意点 $ x $ 处的斜率变化趋势，随着 $ x $ 增大，斜率逐渐趋近于 0。
通过以上内容，我们可以清晰地掌握 $ \arctan x $ 的导数及其应用方法。在实际计算中，灵活运用导数公式和链式法则能够帮助我们快速解决相关问题。