【等腰三角形面积公式】等腰三角形是一种具有两条边长度相等的三角形，这两条边称为“腰”，第三条边称为“底”。在计算等腰三角形的面积时，通常需要知道其底边长度和对应的高。根据几何原理，面积的计算公式为：
面积 = (底 × 高) ÷ 2
以下是对等腰三角形面积公式的总结，并结合不同情况列出计算方式及示例。
一、基本公式
| 公式 | 说明 |
| $ S = \frac{1}{2} \times b \times h $ | $ S $ 表示面积，$ b $ 是底边长度，$ h $ 是对应的高 |
二、已知两边与夹角（非底边）
如果已知等腰三角形的两腰长度 $ a $ 和夹角 $ \theta $，可以通过以下公式计算面积：
$$
S = \frac{1}{2} \times a^2 \times \sin(\theta)
$$
- 适用场景：已知两腰和夹角
- 示例：若两腰为 5 cm，夹角为 60°，则面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10.83 \, \text{cm}^2
$$
三、已知底边和腰长（求高）
若已知底边 $ b $ 和腰长 $ a $，可以通过勾股定理求出高 $ h $，再代入面积公式：
$$
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}
$$
然后面积公式变为：
$$
S = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}
$$
- 适用场景：已知底边和腰长
- 示例：若底边为 6 cm，腰长为 5 cm，则高为：
$$
h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm}
$$
面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, \text{cm}^2
$$
四、已知三边长度（海伦公式）
若已知等腰三角形的三边分别为 $ a $、$ a $、$ b $，可使用海伦公式计算面积：
$$
s = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + b}{2}
$$
$$
S = \sqrt{s(s - a)(s - a)(s - b)}
$$
- 适用场景：已知三边长度
- 示例：若三边为 5 cm、5 cm、6 cm，则：
$$
s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8
$$
$$
S = \sqrt{8(8 - 5)(8 - 5)(8 - 6)} = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}^2
$$
五、表格总结
| 已知条件 | 公式 | 示例 |
| 底边 $ b $ 和高 $ h $ | $ S = \frac{1}{2} \times b \times h $ | $ b=6, h=4 $ → $ S=12 $ |
| 两腰 $ a $ 和夹角 $ \theta $ | $ S = \frac{1}{2} \times a^2 \times \sin(\theta) $ | $ a=5, \theta=60^\circ $ → $ S≈10.83 $ |
| 底边 $ b $ 和腰 $ a $ | $ S = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} $ | $ b=6, a=5 $ → $ S=12 $ |
| 三边 $ a, a, b $ | 海伦公式 | $ a=5, b=6 $ → $ S=12 $ |
通过以上几种方式，可以灵活地计算不同条件下等腰三角形的面积。掌握这些方法有助于提高几何问题的解决效率。