给定一个正整数n和一个正数M对于所有满足条件a12和12 le M的算术级数

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1、设公差为d，an+1=a，则S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a为首项。

2、d为公差的等差数列的前（n+1）项和，所以S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+n(n+1)2d．同除以（n+1），得 a+nd2＝Sn+1．则M≥a12+an+12＝(α?nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a?3nd)2≥410(Sn+1)2因此|S|≤102（n+1）M。

3、且当 a=310M，d=410?1nM 时，S=（n+1）〔310M+n2?410?1nM〕=（n+1）510M=102（n+1）M由于此时4a=3nd。

4、故 a12+an+12＝410(Sn+1)2=410?104M＝M．所以，S的最大值为102（n+1）。

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